и для 3-ей степени и для 4-ой.
=
Теорема Абеля - Руффини не заявляет о том, что общее уравнение {\displaystyle n}n-й степени при {\displaystyle n\geqslant 5}n\geqslant 5 не имеет решения. Если допускать комплексные решения, то основная теорема алгебры гарантирует наличие решений. Суть теоремы Абеля - Руффини сводится к тому, что для произвольных уравнений степени больше четвёртой невозможно указать явную формулу для решений, то есть формулу, определяющую все возможные решения и содержащую только арифметические операции и корни произвольной степени.
Решения таких уравнений можно получить с любой желаемой точностью, используя численные методы, например метод Ньютона.
Кроме того, корни некоторых уравнений высших степеней можно выразить в радикалах. Например, уравнение {\displaystyle x^{5}-5x^{4}-10x^{3}-10x^{2}-5- x-1=0}{\displaystyle x^{5}-5x^{4}-10x^{3}-10x^{2}-5- x-1=0} имеет корень {\displaystyle x=1+{\sqrt[{5}]{2}}+{\sqrt[{5}- ]{4}}+{\sqrt[{5}]{8}}+{\sqrt[{- 5}]{16}}}{\displaystyle x=1+{\sqrt[{5}]{2}}+{\sqrt[{5}- ]{4}}+{\sqrt[{5}]{8}}+{\sqrt[{- 5}]{16}}}.
Хотя уравнение пятой степени неразрешимо в радикалах, для его корней существуют формулы с использованием тета-функций.
Явные формулы для степеней меньше пятой
Для уравнений со степенью меньше, чем пятая, можно указать явную формулу решения. Этот факт можно рассматривать как "вторую часть" или как "обратную" теорему Абеля - Руффини. Хотя это утверждение не следует из теоремы Абеля - Руффини, оно верно: см. формулы Кардано (для уравнений третьей степени) и Феррари (для четвёртой)[4].
