Парадокс Рассела (антиномия Рассела, также парадо#769; кс Ра#769; ссела - Цермело) - теоретико-множественный парадокс (антиномия), открытый в 1901 году британским математиком Бертраном Расселом и демонстрирующий противоречивость логической системы Фреге, являвшейся ранней попыткой формализации наивной теории множеств Георга Кантора. Был открыт ранее, но не опубликован Эрнстом Цермело.
На неформальном языке парадокс можно описать следующим образом. Условимся называть множество "обычным", если оно не является своим собственным элементом. Например, множество всех людей является "обычным", так как само множество - не человек. Примером "необычного" множества является множество всех множеств, так как оно само является множеством, а следовательно, само является собственным элементом.
Можно рассмотреть множество, состоящее только из всех "обычных" множеств, такое множество называется ра#769; сселовским мно#769; жеством. Парадокс возникает при попытке определить, является ли это множество "обычным" или нет, то есть содержит ли оно себя в качестве элемента. Есть две возможности.
С одной стороны, если оно "обычное", то оно должно включать себя в качестве элемента, так как оно по определению состоит из всех "обычных" множеств. Но тогда оно не может быть "обычным", так как "обычные" множества - это те, которые себя не включают.
Остаётся предположить, что это множество "необычное". Однако оно не может включать себя в качестве элемента, так как оно по определению должно состоять только из "обычных" множеств. Но если оно не включает себя в качестве элемента, то это "обычное" множество.
В любом случае получается противоречие.
